martedì, ottobre 17, 2017

Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: prima parte

– «La risposta arrivò circa un millennio dopo, quando, intorno al 1860, Richard Dedekind, professore non ancora trentenne al Politecnico di Zurigo, definì quello che divenne poi noto come il taglio di Dedekind. Attraverso quella definizione, i numeri irrazionali, come la radice quadrata di 2, poterono finalmente essere costruiti a partire dagli interi ed entrare così a pieno titolo nell’insieme dei numeri.»
– Ma che leggi? È uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"?
– Sì, l'ho appena finito.
– E ti è piaciuto?
– Sì, però mi sono rimaste delle curiosità. E una di queste riguarda proprio il taglio di Dedekind. Vorrei proprio capire come fece il professore crucco a definire i numeri irrazionali a partire dai numeri interi!
– Te lo dico subito. Allora, sia K un corpo commutativo linearmente ordinato. Allora una coppia (A, B) di sottoinsiemi di K tali che...
– No, no, no, no, no! Partiamo male. Me lo dovresti spiegare in modo discorsivo e con parole semplici. Considera che lo stai spiegando a una persona normale e non a un altro matematico.
– Uhm. Compito arduo. Non so se ci riuscirò.
– Provaci, dai.
– Vediamo... Penso che Dedekind abbia proceduto più o meno così. Sappiamo che esistono i numeri irrazionali e che questi non posso essere espressi come rapporti di numeri interi. Prendiamone uno qualsiasi. Per semplificare considererò che questo sia proprio la radice di due. Ora, se quel numero lo immagini disposto su una retta lo troverai tra l'1 e il 2, poco sotto all'1,5.
Gia Ippaso aveva capito che, pur non essendo una frazione, per quel numero si possono trovare, sia alla sua destra sia alla sua sinistra, frazioni che gli si avvicinano molto. Allora che fa Dedekind?
– Non lo so. Che fa?
Prende come definizione di radice di due tutte le frazioni che si trovano alla sua sinistra più tutte quelle che si trovano alla sua destra.
– Cioè? Definisce un numero irrazionale usando la quantità infinita di tutte le frazioni immaginabili?!
– Sì, ma lo fa dividendo in due quell'insieme infinito. E a dividerlo in due è proprio il numero irrazionale che si vuole definire.
– Ho capito. Ma allora "taglio" viene proprio dal fatto che quel numero "taglia" la retta in due!
– Credo di sì. Comunque poi Dedekind quella definizione la semplifica e dice che basta considerare solo tutte le frazioni che si trovano alla sinistra del numero.
– Scusa, però mi pare che ci sia un problema. Per definire un numero irrazionale come , usiamo  stessa dicendo che è definita da tutte le frazioni n/m tali che n/m < ? Non è una petizione di principio? – Beh, non necessariamente... Puoi sempre dire che  è definita da tutte le frazioni negative più quelle n/m tali che (n/m)2  < 2. Quindi, nella definizione di  uso solo 2 che è un numero razionale.
QUI
– Ho capito. Si aggira la petizione di principio trovando una proprietà che definisca il numero irrazionale usando solo i numeri razionali. È così quindi che si sarebbero colmati i buchi della la retta dei numeri reali? Riempiendoli con questi irrazionali ognuno dei quali è definito attraverso un'infinità di frazioni?
– Si. Wikipedia, ad esempio, descrive la cosa in questo modo.
"La sezione di Dedekind risolve la contraddizione tra la natura continua del continuum dell'asse numerico e la natura discreta dei numeri stessi. Ovunque ci sia una sezione che non sia su un numero razionale reale, viene creato un numero irrazionale (che è anche un numero reale) dal matematico. Attraverso l'uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionale o irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuità.
« Quando abbiamo a che fare con una sezione prodotta da un numero non razionale, quindi, ne creiamo uno nuovo, un numero irrazionale, che consideriamo come completamente definito da questa sezione... . D'ora in poi, di conseguenza, per ogni sezione definita corrisponde un numero razionale o irrazionale definito... » - 
(Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Section IV).
– Mi rimane un dubbio, però. Ma te ne parlerò dopo. Adesso mi interesserebbe sapere come si definiscono le operazioni su questi nuovi numeri.
– Quello è abbastanza facile. Se r1 ed r2 sono due numeri reali e AA2 i relativi insiemi di Dedekind che li definiscono, r1 + r2 si definirà semplicemente con l'insieme A3 che ha come membri tutte le somme dei membri di AA2. Allo stesso modo si procederà per le altre operazioni.
– Ed esistono altri modi per definire i reali oltre a quello di Dedekind?
– Sì, ma ora devo andare. Te lo dico la prossima volta.

domenica, ottobre 15, 2017

Carnevali della Matematica: speciale estivo e #112

Prima di parlare dell'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica vorrei colmare una lacuna. Essendo stato molto impegnato tra metà agosto e fine settembre non sono riuscito a condividere il bellissimo lavoro fatto dai Rudi Mathematici nel loro numero di agosto numero in cui, vista l'inedita pausa estiva dei carnevali, i Rudi hanno dedicato un articolo al Carnevale della Matematica e ai suoi protagonisti, tra i quali, al quinto posto a pari merito con Spartaco e Paolo, ci sono anch'io.
Ecco la foto che ci ritrae: "Tre per il cinque: Medici narratori, archeomatemusicologi, e poeti osservatori di stelle".

E queste sono le parole che ci descrivono.

"...E scorrendo le classifiche dall’alto in basso, uno prima o poi deve decidere di smettere, di fermarsi, ma è dannatamente difficile scegliere il momento giusto. Che facciamo, approfittiamo dello iato che esiste tra le sette edizioni di Zar e MaddMaths! e le cinque del Coniglio Mannaro, di Mr.Palomar e di Pitagora e Dintorni per piantarla con la ricerca di foto e con i pettegolezzi? Così uno rischia di farsi nemici per sempre Spartaco Mencaroni, Paolo Alessandrini e Flavio Ubaldini, e possiamo giurare su ciò che abbiamo di più caro che quei tre, uniti dal “cinque” che ha reso famosi i postulati di Euclide, non se lo meritano davvero.
... forse possiamo passare colpevolmente sotto silenzio che una tradizione del tutto italiana è la “cellula melodica” di Dionisoo, che abbiamo citato appena (Dioniso è Flavio Ubaldini, quello di Pitagora e Dintorni e puranco del Blogghetto), con la scusa della stanchezza; ma non possiamo far finta di niente, non possiamo proprio, nonostante la calura, evitare di parlare della Poesia Gaussiana."

Passiamo infine all'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica, che sarebbe poi la numero 112. Questa è ospitata da MaddMaths! e ha come tema "Matematica e …"

Oltre a costruire la cellula melodica #112


ho contribuito anche con...

"È poi il turno di Dioniso, dal suo blog Pitagora e dintorni. Il primo post è molto autoreferenziale. Si tratta di un post su “matematica e … Carnevale della matematica”. Infatti la volta scorsa era arrivato in ritardo, e lo Zar gli ha dedicato il primo carnevale frazionario della storia, Carnevali della Matematica #111 e #111 e mezzo. Per “matematica e … cellule melodiche” Dioniso ci parla di un’idea sempre dello Zar per ovviare ai buchi lasciati nella melodia dai primi sufficientemente grandi Cellula melodica #109 Infine per “matematica e… musica”, abbiamo la Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" a Heidelberg, libro scritto da Dioniso sotto le mentite spoglie di Flavio Ubaldini, con una raccolta di foto e di impressioni dalla presentazione di Heidelberg del 23 settembre. Per chiudere, una recensione dello stesso libro, di Maria Rosa Menzio: È un libro eccezionale, anche perché… - recensioneOvviamente per “matematica e … recensioni”.

L'edizione numero 113 (“mamma mia!”), quella 14 novembre verrà ospitata da Mr Palomar.

martedì, settembre 26, 2017

È un libro eccezionale, anche perché… - recensione

Copio qui una breve recensione che Maria Rosa Menzio ha scritto sulla pagina Facebook de "Il mistero del suono senza numero".

È un libro eccezionale, anche perché vediamo per la prima volta romanzata l'idea della dimostrazione per assurdo.
Per questo motivo, per la narrazione poetica e accattivante, decisi lo scorso anno di farne una drammatizzazione che è andata in scena a Castelnuovo (AT), Riva di Chieri, (TO) e al Politecnioc di Torino. Forse lo riprenderò, finanziamenti permettendo.

lunedì, settembre 25, 2017

Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" a Heidelberg

Ecco una raccolta di foto e di impressioni dalla presentazione di Heidelberg del 23 settembre.

Posso dirmi di nuovo molto soddisfatto e, anche stavolta, ho ricevuto molti complimenti.
Molto bravi il prof. Luca Amendola, come moderatore, Nadia Gramegna, come lettrice e Domenico Pizzonia come chitarrista che, oltre ad avermi aiutato nell'esperimento con la lunghezza delle corde della chitarra, ha eseguito Il fabbro armonioso nella versione per chitarra per chiudere la presentazione (chissà perché abbiamo scelto proprio quel pezzo? :-) ).
Poi la serata si è chiusa in bellezza con il rinfresco gentilmente offerto, insieme alla sala, dal Centro Lingue Leonardo Da Vinci che inaugurava ieri le proprie attività e con i balli e i canti donatici da Domenico e Francesco il tamburellista. Ovviamente noi non ci siamo sottratti al ballo.

Un ringraziamento particolare va quindi a Francesca Mele e Fausto Romanato del CentroLingue Leonardo Da Vinci per aver offerto la struttura, alle amiche di Volare e.V. Heidelberg e a Luca, Nadia, Domenico e Freancesco.

venerdì, settembre 15, 2017

Carnevali della Matematica #111 e #111 e mezzo

– Che cosa!? Due Carnevali della Matematica nello stesso mese e uno dei due ha un numero frazionario!? Ma non è mai successo prima!
– Ehm, è colpa mia. Siccome sono arrivato imperdonabilmente in ritardo, Zar ha deciso di punirmi con un carnevale speciale.
– Eh!?
– Scherzo, in realtà sono incredibilmente onorato. Un carnevale speciale e unico tutto per Pitagora e dintorni! Un onore irripetibile!
– Ma dove si trovano questi due Carnevali della Matematica?
– Qui: Carnevale della Matematica #111 e Carnevale della Matematica #111 e mezzo
– E tu con che cosa hai contribuito?
– Con la cellula melodica...

– E... Ecco come ne dialoga Zar.

“Argh! Ma di chi è stata l'idea?”.

“Di Flavio Ubaldini, che è arrivato in ritardo per il Carnevale 111. E quindi ecco qua il Carnevale numero 111.5, primo della sua stirpe, il Carnevale Frazionario”.

“L'ho già detto che siete pazzi. E tutto questo per una cellula melodica?”.

“No, ci sono anche i contributi di Flavio, che non erano stati inseriti nel vecchio Carnevale”.

“Vecchio! È di stamattina! E quali sono questi contributi di Flavio?”.

“In realtà il suo contributo è un libro, che si intitola Il mistero del suono senza numero. Sul suo blog Flavio ha raccolto alcune recensioni, eccole qua”.

L'amore ai tempi di Pitagora.

Fatevi un favore: regalatevi questo libro, in special modo se la matematica non vi è mai piaciuta.

Musica e matematica: un connubio perfetto!

Presentazione del libro a Crotone, la città del protagonista.

Presentazione del libro ad Arce.

Ah, per quanto riguardala prossima edizione: la 112, del 14 ottobre 2017 avrà come nome in codice  “canta melodioso, canta, canta, canta” e sarà ospitata da MaddMaths! ”.

Lo Ius Soli, l'esclusione e i problemi futuri

Come non essere d'accordo con la considerazione di oggi di Michele Serra? Sostengo la stessa cosa da tempo.

"...non c’è persona di buon senso che non capisca che l’esclusione di queste persone da una comunità della quale sono già naturalmente parte non può che alimentare sentimenti di esclusione e di estraneità.
Se fossi un reclutatore dell’Isis sarei entusiasta del naufragio dello Ius soli. Non essendolo, mi sento il malinconico cittadino di un Paese bacucco che ha trovato un’ulteriore maniera di sbattere la porta in faccia ai suoi giovani".

Eh, sì. Perché sono proprio esclusioni del genere a rendere fertile il mare in cui pesca l'Isis. Se non lo capiremo ne pagheremo le conseguenze. E forse le pagheranno soprattutto i nostri giovani.